在介绍群卷积之前，首先对群的概念进行说明。
在数学中，群被定义为一个具有二元运算的集合[1]，该运算能够将群中的任意两个元素组合成为第三个元素。当该集合及二元运算满足群公理的四个条件时，便是一个群。群公理的四个条件分别为：封闭性、结合性、单位元及逆元。接下来我们以Cayley图[2]的形式对群进行更形象的说明。
对于字母F，定义两种旋转操作：90度顺时针旋转r、水平翻转s，对应的效果为
，
。根据两种旋转操作，能够得到如下Cayley关系图。
图 1 Cayley关系图1
因为
，且
，所以有
。可根据图1得到如下关系图，其中e为恒等变换，即
。
图 2 Cayley关系图2
为了更清楚地说明变换之间的关系，去掉F仅保留如下关系图。
图 3 Cayley关系图3
图3便可被看为一个群。图中的每一个位置，如e、s、r、rs等可看为群中集合的元素，每一种变换是一个元素。将这些元素收集起来便得到了一个变换的集合。
在介绍群的定义之后，对群卷积的概念进行说明。假设我们有三张牌，以变换牌的顺序作为元素定义一个群如图4：
图 4 对称群示意图
现在进行随机洗牌，每一轮洗牌40%的时间进行（12）顺序交换，60%的时间进行（23）顺序交换。第一轮洗牌结束时，三种牌的排序顺序为a，接着进行第二轮洗牌得到排列b。随机洗牌三轮后，三张牌的排列顺序变为c，则排列c出现的概率为：
图 5 三轮洗牌流程图
令b=ca-1，则有
再令a=b-1c，可得到：
根据卷积的定义，上式即可被看为一种群卷积。
参考文献
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)
[2] Carter N. Visual group theory[M]. MAA, 2009.
[3]https://colah.github.io/posts/2014-12-Groups-Convolution/
