定义
一种隐式表达曲线演化的方法。
水平集与变分图像分割有关。在变分图像分割中，微分方程是刻画曲线演变过程的工具，通过对方程的迭代式求解，也就是描述了曲线不断靠近物体边缘的整个过程。在曲线的演变中，曲线的运动往往会比较复杂。例如一条膨胀的闭合曲线，会不断插值得到新的点；两个独立的曲线也可能会发生合并，重合之后的状态并不确定。
实际上，水平集是一种变分图像分割模型的求解方法。为了解决曲线演变问题，水平集借鉴了这样的思想：一条曲线可以看成更高一维函数的零水平面，如下图所示。一个曲面在z=0处的截线为我们需要的曲线（红色曲线）。
因此，水平集中的“水平”指的是曲面的零水平面，“集”指的是零水平面对应所有点的集合。闭合的曲线在演化时会发生分裂、合并等复杂的拓扑结构的变化，难以用一个方程表示。然而，使用了水平集后，曲线的分裂变形可以表示成一个连续变化的曲面，与一个高度为零的平面的交线的变化。曲面本身不需要进行分裂，而且只需将曲面作为一个整体考虑即可，不必再追踪曲线上每一点的运动，使得求解过程得以简化。
而且这种隐函数的表达方法可以不仅仅局限在曲线上，还能扩展应用到任意维度。比如，一个曲面的变化可以用一个立体的零水平截面表示。下图表示了水平集进行图像分割的大致过程，可以看出，虽然零水平面的截线可能会有很多复杂的变化，但是曲面一般不会。
一般的曲线演化过程可表示为：
也就是曲线c以速度F向曲线的法线方向演化，速度F可能取决于等诸多因素。使用了水平集引入了曲面u后，方程可变为：
用曲线表示的方程，与曲线上每一点的法线方向N有关。而水平集方法与之相比不需要考虑曲线上的点，直接用曲线c的隐式表达u代替，考虑曲面的变化，对方程进行求解。
那么，这个隐式表达曲线的水平集函数u应该怎么选呢？可以看出需要计算u的梯度
，而且大部分方法中速度函数F都会包含有曲线c的二阶导数，也就是曲率项。因此水平集函数应该越光滑越好，这样计算精度会比较高。符号距离函数（Sign Distance Function，SDF）是最常用的水平集函数。设d为点x到曲线c上所有点的最短距离。如果点x在曲线c的外部，函数取值为
，如果点x在曲线c的内部，函数取值为
。
这样做与u具有隐式表达曲线的作用是一致的：位于曲线上的所有点x，其水平集函数
（位于水平面内），而位于水平面上方的x，
，位于下方的x，
。因此，把u定义为符号距离函数是很自然的。另外一点，符号距离函数的梯度
，这样在使用有限差分法进行近似时，差分使用的网格的大小为1，也就是一个像素就是一个网格，使得数值计算的精度较高。
参考文献
[1] Osher S, Sethian J A. Fronts propagating with curvature-dependent speed: algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations[J]. Journal of computational physics, 1988, 79(1): 12-49.
[2] Sethian J A. Level set methods and fast marching methods: evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science. Cambridge university press, 1999.
[3] Shi Y, Karl W C. A Fast Level Set Method Without Solving PDEs[C]// ICASSP '05). IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. IEEE, 2005:97-100.
参阅：变分法、偏微分方程、隐函数、图像分割、主动轮廓模型
