在拓扑数据分析中，流形的拓扑特征随构造单纯复形半径的演变是其中一个重要的研究问题。在拓扑空间中，通常使用一族不变量来描述流形的连通性，记作贝蒂数，表示为{b0,b1,b2,······}。
图 1 常见流形结构的贝蒂数
在数学上，流形的第n个贝蒂数定义：
其中Hn为流形的第n个同调群。
流形的结构和构造单纯复形中的半径ε相关。在构造流形时，随着ε的不断增大，能保持更长时间的特征是有用的特征，而寿命很短的特征更可能是噪声。这个过程称为持续同调，因为它发现了在ε持续变化时，拓扑空间中持续存在的同源特征。
图 2 贝蒂数条形码图
参考文献
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Persistent_homology
[2] Chaudhuri R, Gerçek B, Pandey B, et al. The intrinsic attractor manifold and population dynamics of a canonical cognitive circuit across waking and sleep[J]. Nature neuroscience, 2019: 1-9.
[3] http://outlace.com/TDApart1.html
